Question

5．关于函数f（x）=2cos²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$sinx（x∈[0，π]）下列结论正确的是（　　）

• A． 有最大值3，最小值-1
• B． 有最大值2，最小值-2
• C． 有最大值3，最小值0
• D． 有最大值2，最小值0

Answer 1

分析 利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，x∈[0，π]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：函数f（x）=2cos²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$sinx．
化简可得：f（x）=cosx+$\sqrt{3}$sinx+1=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1
∵x∈[0，π]，
∴x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
可得sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]
∴函数f（x）∈[0，3]，
故选：C．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．