Question

10．如图，已知PD垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，点D在线段AB上，点C为圆O上一点，且BD=PD=3，AC=2AD=2．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAB
（Ⅱ）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结CO，推导出CD⊥AO，PD⊥CD，由此能证明CD⊥平面PAB．
（Ⅱ）利用等体积方法，求点A到平面PBC的距离．

解答 （Ⅰ）证明：由BD=3，AD=1，得AB=4，AO=2，得点D为AO的中点
连接OC，∵AO=AC=OC=2，∴△ACO为正三角形，
∴CD⊥AO，
又PD⊥圆O所在的平面，CD在圆O所在平面内，
∴PD⊥CD，
∵PD∩AO=D，
∴CD⊥平面PAB．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得PC=2$\sqrt{3}$，BC=2$\sqrt{3}$，PB=3$\sqrt{2}$，
∴S_△PCB=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{30}}{2}$=$\frac{3\sqrt{15}}{2}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
由等体积可得$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×3=\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{15}}{2}d$，∴d=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴点A到平面PBC的距离为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点A到平面PBC的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．