Question

（2012•怀化二模）函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（　　）
①f（x）=x²（x≥0）；
②f（x）=e^x（x∈R）；
③f（x）=

4x

x2+1

（x≥0）；
④f（x）=loga(ax-

1

8

)(a＞0，a≠1)．

A．①②③④

B．①②④

C．①③④

D．①③

Answer 1

分析：根据函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②

f(a)=2a f(b)=2b

或

f(a)=2b f(b)=2a

，对四个函数分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”

解答：解：函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②

f(a)=2a f(b)=2b

或

f(a)=2b f(b)=2a

①f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，则

f(a)=2a f(b)=2b

，∴

a2=2a b2=2b

∴

a=0 b=2

∴f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值区间”[0，2]；
②f（x）=e^x（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，则

f(a)=2a f(b)=2b

，∴

ea=2a eb=2b

构建函数g（x）=e^x-2x，∴g′（x）=e^x-2，
∴函数在（-∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．
∵g（ln2）=2-2ln2＞0，∴g（x）＞0恒成立，∴e^x-2x=0无解，故函数不存在“倍值区间”；
③f(x)=

4x

x2+1

(x≥0)，f′(x)=

4(x2+1)-4x×2x

(x2+1)2

=

4(1+x)(1-x)

(x2+1)2

若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，则

f(a)=2a f(b)=2b

，∴

4a a2+1 =2a 4b b2+1 =2b

，∴a=0，b=1，若存在“倍值区间”[0，1]；
④f(x)=loga(ax-

1

8

)(a＞0，a≠1)．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数
若存在“倍值区间”[m，n]，则

f(m)=2m f(n)=2n

，必有

loga(am- 1 8 )=2m loga(an- 1 8 )=2n

，
必有m，n是方程loga(ax-

1

8

)=2x的两个根，
必有m，n是方程a2x-ax+

1

8

=0的两个根，
由于a2x-ax+

1

8

=0存在两个不等式的根，故存在“倍值区间”[m，n]；
综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④
故选C．

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，涉及知识点较多，需要谨慎计算．