Question

7．已知△ABC中，A（1，3），BC边所在的直线方程为y-1=0，AB边上的中线所在的直线方程为x-3y+4=0．
（Ⅰ）求B，C点的坐标；
（Ⅱ）求△ABC的外接圆方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用解方程组的方法，求B，C点的坐标；
（Ⅱ）法一：求出圆心与半径；法二：，利用圆的一般方程，即可求△ABC的外接圆方程．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}y-1=0\\ x-3y+4=0\end{array}\right.$解得C（-1，1）；                   …（3分）
设B（x₀，1），则AB的中点$D（\frac{{{x_0}+1}}{2}，2）$，由点D在AB边的中线上得$\frac{{{x_0}+1}}{2}-3×2+4=0$，解得B（3，1）…（6分）
（Ⅱ）法一：易知AB⊥AC，故△ABC的外接圆的直径为BC，圆心为BC的中点（1，1），
…（8分）
又半径$r=\frac{1}{2}|BC|=2$，…（10分）
∴所求外接圆的方程为（x-1）²+（y-1）²=4…（12分）
法二：设△ABC的外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0则将A（1，3），B（1，-1），C（-1，0）三点
的坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}D+3E+F=-10\\ 3D+E+F=-10\\-D+E+F=-2\end{array}\right.$…（8分）
解得D=E=F=-2，…（10分）
即△ABC的外接圆方程为x²+y²-2x-2y-2=0．…（12分）

点评 本题考查直线与直线的位置关系，考查圆的方程，属于中档题．