Question

【题目】近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售．为了做好苹果的品控，小张从自己果园的苹果树上，随机摘取150个苹果测重（单位：克），其重量分布在区间内，根据统计的数据得到如图1所示的频率分布直方图．

（1）以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了30个苹果，求这30个苹果中重量在内的个数的数学期望；

（2）小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏．该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1或2，且这两种结果的概率相同；从出发格（第0格）开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2所示的路径向前行进一次，若掷出1点，即从当前位置向前行进一格（从第格到第格，），若掷出2点，即从当前位置向前行进两格（从第格到第格，），行进至第3l格（获得福袋）或第32格（谢谢惠顾），游戏结束．设买家行进至第格的概率为，．

（ⅰ）求、，并写出用、表示的递推式；

（ⅱ）求，并说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家．

Answer 1

【答案】（1）8.4个；（2）（ⅰ）,．（ⅱ），更有利于买家．

【解析】

（1）根据频率分布直方图可求出苹果的重量在内的频率，再根据二项分布的期望公式可得结果；

（2）（ⅰ）由当前格在第0格，且第一次抛掷骰子，结果为1，可求得；由当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2，和当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1，这两个互斥事件的和事件的概率公式可求得；分两种情况可求得：①当前格在第格，抛掷一次骰子，结果为2，②当前格在第格，抛掷一次骰子，结果为1，

（ii）根据（ⅰ）的递推关系可求得，由此可得，根据可求得，再比较大小可得答案.

（1）由图可知，苹果的重量在内的频率为：．

一顾客从该果园购买的30个苹果中重量在内的个数为，则，所以（个）．

（2）（i）买家要行进至第1格的情况只有一种：买家第一次抛掷骰子，结果为1，行进至第一格，其概率为，则；

买家要行进至第2格的情况有以下两种：

①当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2，行进至第2格，其概率为；

②当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1，行进至第2格，其概率为；

所以．

买家要行进至第格的情况有以下两种：

①当前格在第格，抛掷一次骰子，结果为2，行进至第格，其概率为；

②当前格在第格，抛掷一次骰子，结果为1，行进至第格，其概率为；

所以．

（ii）由（i）得，，即，

又，

所以数列是首项为，公比为的等比数列．

所以，

所以

，

即．

所以买家行进至第31格（获得福袋）的概率为；

又买家行进至第32格（谢谢惠顾）的概率为，

由于，

所以买家行进至第31格的概率大于行进至第32格的概率，即小张网店推岀的此款游戏活动是更有利于买家．