Question

【题目】已知函数．

（1）讨论函数零点的个数；

（2）若函数存在两个零点，证明：．

Answer 1

【答案】（1）时，函数无零点.时，函数有1个零点. 时，函数有2个零点. （2）证明见解析.

【解析】

（1）求出导数，得出函数的单调区间，根据的符号，函数零点的个数.

（2）由（1）知两个零点，，，零点间关系是，变形为，引入变量，则，，，要证的不等式等价变形为，，即证，（），为此引入新函数，利用导数研究函数的单调性为减函数，则可证得结论成立，这里需要多次求导变形再求导才可证明．

(1)有题意得

由得，得，

所以在上单调递增，在上单调递减.

时，取得极大值，也是最大值为，

所以当，即时，函数无零点.

当，即时，函数有1个零点.

当，即时，

，设，

在恒成立，

在单调递减，，

所以，在，各有一个零点，

函数有2个零点.

综上所述：时，函数无零点.

时，函数有1个零点.

时，函数有2个零点.

（2）由（1），即时，

有两个零点，（），则，，

由，得，

令，则，，，

，显然成立，

要证，即证，

只要证，即证，（），

令，，

，，

令，则，，令，

，，

令，

，时，是减函数，

所以时，，

所以是减函数，，即（），

所以是减函数，，

所以，在时是减函数，

，即，

所以在上是减函数，，

所以，即，

综上，成立．