Question

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥面ABCD，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：A₁C₁⊥AB；
（Ⅱ）求点B₁到平面ABC₁的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接A₁B，由AB=CC₁，知AB=BB₁，由AA₁⊥面ABCD，知AA₁⊥AB．所以四边形ABB₁A₁为正方形．由此能够证明A₁C₁⊥AB．
（Ⅱ）由A₁B₁∥AB，知A₁B₁∥面ABC₁．则A₁到平面ABC₁的距离即为B₁到平面ABC₁的距离．由AB⊥A₁A，AB⊥A₁C₁，知AB⊥面AA₁C₁C，面ABC₁⊥面AA₁C₁C．过A₁作A₁G⊥AC₁于G，则A₁G⊥面ABC₁，则 A₁G的长就是点A₁到平面ABC₁的距离．由此能求出点B₁到平面ABC₁的距离．

解答：解：（Ⅰ）证明：连接A₁B，∵AB=CC₁∴AB=BB₁
又AA₁⊥面ABCD∴AA₁⊥AB
则四边形ABB₁A₁为正方形．∴AB₁⊥A₁B．∵AB₁⊥BC₁，∴AB₁⊥面A₁BC₁．∴AB₁⊥A₁C₁，∵BB₁⊥A₁C₁，∴A₁C₁⊥面A₁ABB₁，∴A₁C₁⊥AB
（Ⅱ）∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁∥面ABC₁．
则A₁到平面ABC₁的距离即为B₁到平面ABC₁的距离．
由（ I）知，AB⊥A₁A，AB⊥A₁C₁，∴AB⊥面AA₁C₁C，∴面ABC₁⊥面AA₁C₁C．
过A₁作A₁G⊥AC₁于G，则A₁G⊥面ABC₁，
则 A₁G的长就是点A₁到平面ABC₁的距离．
在Rt△A₁B₁C₁中，A₁C₁²=B₁C₁²-A₁B₁²=5²-3²=16，A₁C₁=4，
在Rt△A₁AC₁中，AC₁²=A₁C₁²+A₁A²=4²+3²=25，AC₁=5．
则由AC₁•A₁G=AA₁•A₁C₁可得 5×A₁G=3×4，∴A1G=

12

5

故 所求距离为

12

5

．

点评：本题考查点、线、面间距离的计算，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．