Question

（2007•温州一模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的面积为πab，设平面区域M={(x，y)|x2+

y2

4

≤1，且2x+y≥2}．
（Ⅰ）求平面区域M的面积；
（Ⅱ）若动直线x=t被平面区域M截得的线段长为d，试用t表示d并求出d的最大值．

Answer 1

分析：（I）由题意可得：平面区域M如图中阴影部分，则它的面积为此椭圆面积的

1

4

再减去△OAB的面积，结合题中的条件计算出各部分的面积进而达到答案．
（II）直线x=t在平面区域M中截得的线段长d=2

1-t2

-2(1-t)，再利用三角换元的有关知识与三角函数的有关性质求出最大值即可．

解答：解：（I）由题意可得：平面区域M如图中阴影部分，则它的面积为此椭圆面积的

1

4

再减去△OAB的面积，---（3分）
由题中的条件可得：椭圆面积的

1

4

为

π

2

，三角形OAB的面积为1，
所以阴影部分的面积为

π

2

-1；---（6分）
（II）直线x=t在平面区域M中截得的线段长d=2

1-t2

-2(1-t)，---（10分）
设t=cosα，α∈[0，

π

2

]，
则有d=2sinα-2(1-cosα)=2

2

sin(α+

π

4

)-2
根据三角函数的性质可得：当α=

π

4

时，dmax=2

2

-2．---（14分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握三角换元与三角函数的有关性质，以及椭圆的标准方程与性质，此题属于中档题．