Question

7．（1）已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是不共线向量，$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=6$\overrightarrow{{e}_{1}}$-8$\overrightarrow{{e}_{2}}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$是否共线；
（2）已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是共线向量，$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=6$\overrightarrow{{e}_{1}}$-8$\overrightarrow{{e}_{2}}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$是否共线．

Answer 1

分析 （1）假设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$是共线向量，则存在实数λ使得$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}$，由于$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是不共线向量，利用向量基本定理即可判断出．
（2）利用向量共线定理即可判断出．

解答 解：（1）假设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$是共线向量，则存在实数λ使得$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}$，∴3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（6$\overrightarrow{{e}_{1}}$-8$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=6$λ\overrightarrow{{e}_{1}}$-8λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是不共线向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=6λ}\\{4=-8λ}\end{array}\right.$，λ不存在，因此$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不是共线向量．
（2）$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$是共线向量，则存在实数λ使得$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}$，∴3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（6$\overrightarrow{{e}_{1}}$-8$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=6$λ\overrightarrow{{e}_{1}}$-8λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是共线向量，
∴存在实数μ使得$\overrightarrow{{e}_{1}}=μ\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$3\overrightarrow{{e}_{1}}+4μ\overrightarrow{{e}_{1}}$=λ$（6\overrightarrow{{e}_{1}}-8μ\overrightarrow{{e}_{1}}）$，
化为（3+4μ-6λ+8λμ）$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$\overrightarrow{0}$，
因此存在λ与μ，使得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$是共线向量．

点评 本题考查了共线向量与向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．