Question

设函数f(x)=x+

p

x

(p＞0)．
（1）若p=4，判断f（x）在区间（0，2）的单调性，并用函数单调性定义加以证明；
（2）若f（x）在区间（0，2）上为单调减函数，求实数p的取值范围；
（3）若p=8，方程f（x）=a-3在x∈（0，2）内有实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当p=4时，f（x）=x+

4

x

在区间（0，2）的单调递减，利用函数单调性定义证明即可；
（2）依题意知，

p

≥2，从而可求实数p的取值范围；
（3）p=8，f（x）=a-3⇒a=x+

8

x

+3，令g（x）=x+

8

x

+3，利用g（x）在区间（0，2）是单调递减的性质可求其值域，从而可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）当p=4时，f（x）=x+

4

x

在区间（0，2）的单调递减．
证明：令0＜x₁＜x₂＜2，
则f（x₁）-f（x₂）
=（x₁+

4

x1

）-（x₂+

4

x2

）
=（x₁-x₂）+（

4

x1

-

4

x2

）
=（x₁-x₂）+4•

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

），
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，
∴

4

x1x2

＞1，1-

4

x1x2

＜0，
∴（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）=x+

4

x

在区间（0，2）的单调递减；
（2）∵f（x）=x+

p

x

（p＞0）在（0，

p

]上单调递减，又f（x）在区间（0，2）上为单调减函数，
∴

p

≥2，
∴p≥4，即实数p的取值范围是[2，+∞）；
（3）p=8，f（x）=a-3⇒a=x+

8

x

+3，令g（x）=x+

8

x

+3，
∵g（x）在区间（0，2

2

]是单调递减，（0，2）⊆（0，2

2

]，
∴g（x）在区间（0，2）是单调递减，
又g（2）=9，
∴a＞9．
即实数a的取值范围是（9，+∞）．

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查根的存在性及根的个数判断，考查等价转化思想与综合运算能力，属于难题．