Question

设数列{a_n}满足a₁=1，a₂+a₄=6，且对任意n∈N^*，函数f（x）=（a_n-a_n+1+a_n+2）x+a_n+1?cosx-a_n+2sinx满足f′(

π

2

)=0若cn=an+

1

2an

，则数列{c_n}的前n项和S_n为（　　）

• A、

  n2+n

  2

  -

  1

  2n

• B、

  n2+n+4

  2

  -

  1

  2n-1

• C、

  n2+n+2

  2

  -

  1

  2n

• D、

  n2+n+4

  2

  -

  1

  2n

Answer 1

分析：依题意，可求得a_n-2a_n+1+a_n+2=0，于是知数列{a_n}是等差数列，设其公差为d，由a₁=1，a₂+a₄=6，可求得a_n=n，于是知c_n=a_n+

1

2an

=n+

1

2n

，利用分组求和的方法即可求得答案．

解答：解：∵f（x）=（a_n-a_n+1+a_n+2）x+a_n+1•cosx-a_n+2sinx，
∴f′（x）|x=

π

2

=a_n-a_n+1+a_n+2-a_n+1•sinx|x=

π

2

-a_n+2cosx|x=

π

2

，
=a_n-2a_n+1+a_n+2，
∵f′（

π

2

）=0，
∴a_n-2a_n+1+a_n+2=0，即2a_n+1=a_n+a_n+2，
∴数列{a_n}是等差数列，设其公差为d，
∵a₂+a₄=6，
∴2a₁+4d=6，a₁=1，
∴d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n，
∴c_n=a_n+

1

2an

=n+

1

2n

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=（1+2+…+n）+（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

）
=

(1+n)n

2

+

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=

n2+n+2

2

-

1

2n

．
故选：C．

点评：本题考查数列的求和，利用f′（

π

2

）=0确定数列{a_n}是等差数列是难点，考查等差关系的确定与其通项公式的应用，突出分组求和的应用，属于难题．