Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，若f（a）=f（b）（a≠b），则函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2a+4，x≤0}\\{\frac{a{x}^{2}+b}{x}，x＞0}\end{array}\right.$的最小值为2．

Answer 1

分析 根据对数函数的性质由f（a）=f（b）得ab=1，然后结合一元二次函数和基本不等式的性质进行求解即可．

解答 解：若f（a）=f（b）（a≠b），
不妨设a＜b，
则0＜a＜1，b＞1，
则-lna=lnb，即lna+lnb=lnab=0，
即ab=1，则b=$\frac{1}{a}$，
则当x≤0时，g（x）=x²+2a+4，为减函数，则函数的最小值为g（0）=2a+4＞4，
当x＞0时，g（x）=$\frac{a{x}^{2}+b}{x}$=ax+$\frac{b}{x}$=ax+$\frac{1}{ax}$≥2$\sqrt{ax•\frac{1}{ax}}$=2，
当且仅当ax=$\frac{1}{ax}$，即x=$\frac{1}{a}$时，取等号，
∴函数的最小值为2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查函数最值的求解和应用，根据对数的运算法则和性质求出ab=1，以及利用基本不等式以及一元二次函数的单调性的性质是解决本题的关键．