Question

5．已知函数$f（x）=\frac{{t•{3^x}-1}}{{{3^x}+1}}（{t∈R}）$是奇函数．
（1）求t的值；
（2）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（3）对于任意的0＜m＜2，解不等式：${f^{-1}}（x）＞{log_3}\frac{1+x}{m}$．

Answer 1

分析 （1）由于函数$f（x）=\frac{{t•{3^x}-1}}{{{3^x}+1}}（{t∈R}）$是奇函数，利用f（0）=0，解得t即可得出．
（2）由y=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$，解得x=$lo{g}_{3}\frac{1+y}{1-y}$（y≠1），把x与y互换可得，即可得出．
（3）对于任意的0＜m＜2，不等式：${f^{-1}}（x）＞{log_3}\frac{1+x}{m}$．化为$\frac{1+x}{1-x}$＞$\frac{1+x}{m}$，由$\frac{1+x}{1-x}$＞0，解得-1＜x＜1．解出即可得出．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=\frac{{t•{3^x}-1}}{{{3^x}+1}}（{t∈R}）$是奇函数，∴f（0）=$\frac{t-1}{2}$=0，解得t=1．
∴f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$，
经过验证满足条件．
（2）由y=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$，解得3^x=$\frac{1+y}{1-y}$（y≠1），
解得x=$lo{g}_{3}\frac{1+y}{1-y}$（y≠1），
把x与y互换可得，y=$lo{g}_{3}\frac{1+x}{1-x}$（x≠1），
∴f（x）的反函数f^-1（x）=$lo{g}_{3}\frac{1+x}{1-x}$（x≠1）．
（3）对于任意的0＜m＜2，不等式：${f^{-1}}（x）＞{log_3}\frac{1+x}{m}$．
即$lo{g}_{3}\frac{1+x}{1-x}$＞$lo{g}_{3}\frac{1+x}{m}$，
∴$\frac{1+x}{1-x}$＞$\frac{1+x}{m}$，
由$\frac{1+x}{1-x}$＞0，解得-1＜x＜1．
∴$\frac{1}{1-x}$＞$\frac{1}{m}$，
解得1-m＜x＜1，
∴不等式的解集为：{x|1-m＜x＜1}．

点评 本题考查了函数的奇偶性单调性、不等式的解法、反函数的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．