Question

17．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），A，B是椭圆与x轴的两个交点，M为椭圆C的上顶点，设直线MA的斜率为k₁，直线MB的斜率为k₂，k₁k₂=-$\frac{2}{3}$
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设直线l与x轴交于点D（-$\sqrt{3}$，0），交椭圆于P、Q两点，且满足$\overrightarrow{DP}$=3$\overrightarrow{QD}$，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得M（0，b），A（-a，0），B（a，0）．由斜率公式可得k₁，k₂，再由条件结合离心率公式计算即可得到所求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得a²=3c²，b²=2c²，可设椭圆C的方程为：2x²+3y²=6c²，设直线l的方程为：x=my-$\sqrt{3}$，直线l与椭圆交于P，Q两点，联立方程，运用判别式大于0和韦达定理，结合向量共线的坐标表示，求得S_△OPQ，化简运用基本不等式可得最大值，进而得到a，b，c，即有椭圆方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得M（0，b），A（-a，0），B（a，0）．
k₁=$\frac{b}{a}$，k₂=-$\frac{b}{a}$                        
k₁k₂=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{2}{3}$，b=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．                             
（Ⅱ）由（Ⅰ）知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得a²=3c²，b²=2c²，
可设椭圆C的方程为：2x²+3y²=6c²，
设直线l的方程为：x=my-$\sqrt{3}$，直线l与椭圆交于P，Q两点
$\left\{\begin{array}{l}{x=my-\sqrt{3}}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=6{c}^{2}}\end{array}\right.$得（2m²+3）y²-4$\sqrt{3}$my+6-6c²=0，
因为直线l与椭圆C相交，所以△=48m²-4（2m²+3）（6-6c²）＞0，
由韦达定理：y₁+y₂=$\frac{4\sqrt{3}m}{3+2{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{6-6{c}^{2}}{3+2{m}^{2}}$．    
又$\overrightarrow{DP}$=3$\overrightarrow{QD}$，所以y₁=-3y₂，
代入上述两式有：6-6c²=-$\frac{36{m}^{2}}{2{m}^{2}+3}$，
所以S_△OPQ=$\frac{1}{2}$|OD|•|y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\frac{8\sqrt{3}m}{3+2{m}^{2}}$|
=12•$\frac{|m|}{2|m{|}^{2}+3}$=12•$\frac{1}{2|m|+\frac{3}{|m|}}$≤12•$\frac{1}{2\sqrt{6}}$=$\sqrt{6}$，
当且仅当m²=$\frac{3}{2}$时，等号成立，
此时c²=$\frac{5}{2}$，
代入△，有△＞0成立，
所以椭圆C的方程为：$\frac{2{x}^{2}}{15}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式，考查椭圆的方程的求法，注意运用直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及向量共线的坐标表示，和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．