Question

12．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为（x-4）²+（y-4）²=25．

Answer 1

分析 由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，可求出|AF|的值，进一步得到p的值，把点A（4，m）代入抛物线的方程，求得m的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程．

解答 解：由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，
得|AF|=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{6}{2}）^{2}}=5$，则$4+\frac{p}{2}=5$，∴p=2．
∵点A（4，m）为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，∴$m=\sqrt{2×2×4}=4$．
∴圆C的标准方程为（x-4）²+（y-4）²=25．
故答案为：（x-4）²+（y-4）²=25．

点评 本题主要考查抛物线的定义和标准方程的应用，求圆的标准方程的方法，求出m的值，是解题的关键，属于基础题．