Question

2．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y=3，则$\frac{3x+y}{xy}$的最小值为$\frac{7+2\sqrt{6}}{3}$，x²+4y²+xy的最小值为$\frac{45}{8}$．

Answer 1

分析 根据基本不等式进行转化求解得$\frac{3x+y}{xy}$的最小值，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质即可求x²+4y²+xy的最小值．

解答 解：由x+2y=3得$\frac{x}{3}$+$\frac{2y}{3}$=1，
则$\frac{3x+y}{xy}$=$\frac{3}{y}$+$\frac{1}{x}$=（$\frac{3}{y}$+$\frac{1}{x}$）×1=（$\frac{3}{y}$+$\frac{1}{x}$）（$\frac{x}{3}$+$\frac{2y}{3}$）=2+$\frac{1}{3}$+$\frac{x}{y}$+$\frac{2y}{3x}$≥$\frac{7}{3}$+2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{2y}{3x}}$=$\frac{7}{3}$+$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{7+2\sqrt{6}}{3}$，
当且仅当$\frac{x}{y}$=$\frac{2y}{3x}$，即3x²=2y²取等号，即$\frac{3x+y}{xy}$的最小值为$\frac{7+2\sqrt{6}}{3}$．
由x+2y=3得x=3-2y，由x=3-2y＞0得0＜y＜$\frac{3}{2}$，
则x²+4y²+xy=（3-2y）²+4y²+（3-2y）y=6y²-9y+9=6（y-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{45}{8}$，
即当y=$\frac{3}{4}$时，x²+4y²+xy的最小值为$\frac{45}{8}$，
故答案为：$\frac{7+2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{45}{8}$．

点评 本题主要考查函数最值的求解，利用基本不等式中1的代换以及换元法结合一元二次函数的单调性的性质是解决本题的关键．综合性较强．