Question

4．已知曲线C的方程是mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），且曲线C过A（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）两点，O为坐标原点
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），向量$\overrightarrow{p}$（$\sqrt{m}$x₁，$\sqrt{n}$y₁），$\overrightarrow{q}$=（$\sqrt{m}$x₂，$\sqrt{n}$y₂），且$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=0，若直线MN过点（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），求直线MN的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将A，B代入曲线C的方程，解方程组，可得m=4，n=1，即可得到所求曲线的方程；
（Ⅱ）设直线MN的方程为$y=kx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，代入椭圆方程为y²+4x²=1，运用韦达定理，由向量的数量积的坐标表示，化简整理，解方程可得所求直线的斜率．

解答 解：（Ⅰ）将A，B代入曲线C的方程，可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{8}m+\frac{1}{2}n=1\\ \frac{1}{6}m+\frac{1}{3}n=1\end{array}\right.$，
解得m=4，n=1．
所以曲线C方程为y²+4x²=1；
（Ⅱ）设直线MN的方程为$y=kx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，代入椭圆方程为y²+4x²=1得，
$（{k^2}+4）{x^2}+\sqrt{3}kx-\frac{1}{4}=0$．
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{-\sqrt{3}k}}{{{k^2}+4}}，{x_1}{x_2}=\frac{{-\frac{1}{4}}}{{{k^2}+4}}$，
∴$\overrightarrow p•\overrightarrow q$=（2x₁，y₁）•（2x₂，y₂）=4x₁x₂+y₁y₂=0，
由y₁y₂=（kx₁+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）（kx₂+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=k²x₁x₂+$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$k（x₁+x₂），
∴$\frac{-1}{{{k^2}+4}}+\frac{{-\frac{1}{4}{k^2}}}{{{k^2}+4}}+\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}k•（-\sqrt{3}k）}}{{{k^2}+4}}+\frac{3}{4}=0$，
即${k^2}-2=0，k=±\sqrt{2}$．

点评 本题考查曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．