Question

16．在数列{a_n}中，a₁＜-|k|，a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{{k}^{2}}{{a}_{n}}$）（n∈N^*，k∈R，k≠0）
（1）判断数列{a_n}的增减性，并说明理由；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＞2a₁+（2-n）|k|．

Answer 1

分析 （1）利用数学归纳法及其不等式的性质证明：数列{a_n}单调递增，即a_n+1＞a_n．
（2）利用数学归纳法及其不等式的性质即可证明．

解答 （1）解：利用数学归纳法证明：数列{a_n}单调递增，即a_n+1＞a_n．
①∵a₁＜-|k|，a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{{k}^{2}}{{a}_{n}}$）（n∈N^*，k∈R，k≠0），
∴${a}_{1}^{2}＞{k}^{2}$，0＞a₂=$\frac{1}{2}$$（{a}_{1}+\frac{{k}^{2}}{{a}_{1}}）$=-$\frac{1}{2}（-{a}_{1}+\frac{{k}^{2}}{-{a}_{1}}）$＞$-\frac{1}{2}（-{a}_{1}+\frac{{a}_{1}^{2}}{-{a}_{1}}）$=a₁．
②假设n=m∈N^*时，0＞${a}_{m+1}＞{a}_{m}＞{k}^{2}$．
则n=m+1时，a_m+2=$\frac{1}{2}（{a}_{m+1}+\frac{{k}^{2}}{{a}_{m+1}}）$=-$\frac{1}{2}（-{a}_{m+1}+\frac{{k}^{2}}{-{a}_{m+1}}）$＞$-\frac{1}{2}（-{a}_{m+1}+\frac{{a}_{m+1}^{2}}{-{a}_{m+1}}）$=-a_m+1．
∴n=m+1时，假设成立．
综上可得：数列{a_n}单调递增．
（2）证明：利用数学归纳法证明：S_n＞2a₁+（2-n）|k|．
①当n=1时，2a₁+（2-1）|k|-a₁=a₁+|k|＜0，成立．
②假设当n=m时，S_m＞2a₁+（2-m）|k|．
则S_m+1=S_m+a_m+1＞2a₁+（2-m）|k|+$\frac{1}{2}（{a}_{m}+\frac{{k}^{2}}{{a}_{m}}）$＞2a₁+（2-m）|k|-|k|=2a₁+[2-（m+1）]|k|．
综上可得：对于任意正整数n，S_n＞2a₁+（2-n）|k|都成立．

点评 本题考查了递推关系、数学归纳法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．