Question

6．过椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦点F₂的直线交椭圆于A，B两点，F₁为其左焦点，已知△AF₁B的周长为$4\sqrt{3}$，椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+m$相交于不同的两点M、N．当|PM|=|PN|时，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆定义可得：4a=$4\sqrt{3}$，离心率计算公式$e=\frac{c}{a}=\frac{c}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，及其$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，即可得出．
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系、中点坐标公式、等腰三角形的性质即可得出．

解答 解：（1）由椭圆定义知，$4a=4\sqrt{3}，a=\sqrt{3}$，
由$e=\frac{c}{a}=\frac{c}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，得c=$\sqrt{2}$，$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1．
椭圆C的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（2）由方程组$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+m\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1\end{array}\right.⇒2{x^2}+2\sqrt{3}mx+3（{{m^2}-1}）=0$，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为E（x₀，y₀），
则${x_1}+{x_2}=-\sqrt{3}m$．
∴${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}m，{y_0}=\frac{m}{2}$
∴$E（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}m，\frac{m}{2}}）$
由|PM|=|PN|得PE⊥MN，又P（0，-1）
∴${k_{PE}}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}=-1$，
∴m=1．   
满足△=12m²-24（m²-1）＞0．
综上m=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等腰三角形的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．