Question

19．设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x₀，h（x₀）处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x₀时，若$\frac{h（x）-g（x）}{x-{x}_{0}}$＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=lnx+2x²-x的“类对称点”的横坐标是（　　）

• A． e
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线分别，设m（x）=f（x）-g（x），求函数的导数判断函数m（x）的单调性，建立不等式关系进行判断即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=$\frac{1}{x}$+4x-1，（x＞0），
函数y=f（x）在其图象上一点P（x₀，f（x₀））处的切线斜率k=f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$+4x₀-1，
则对应的方程为y-（lnx₀+2x₀²-x₀）=（$\frac{1}{{x}_{0}}$+4x₀-1）（x-x₀），
即y=g（x）=（4x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1）（x-x₀）+2x₀²-x₀+lnx₀，
设m（x）=f（x）-g（x）=2x²-x+lnx-（4x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1）（x-x₀）-2x₀²+x₀-lnx₀，
则m（x₀）=0．
m′（x）=4x+$\frac{1}{x}$-1-（4x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1）=4（x-x₀）+（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$）=$\frac{1}{x}$（x-x₀）（4x-$\frac{1}{{x}_{0}}$）=$\frac{4}{x}$（x-x₀）（x-$\frac{1}{4{x}_{0}}$），
由x₀=$\frac{1}{4{x}_{0}}$得x₀=$\frac{1}{2}$，
若x₀＜$\frac{1}{2}$，m（x）在（x₀，$\frac{1}{4{x}_{0}}$）上单调递减，
∴当x∈（x₀，$\frac{1}{4{x}_{0}}$）时，m（x）＜m（x₀）=0，此时$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＜0；
若x₀＞$\frac{1}{2}$，φ（x）在（$\frac{1}{4{x}_{0}}$，x₀）上单调递减，
∴当x∈（$\frac{1}{4{x}_{0}}$，x₀）时，m（x）＞m（x₀）=0，此时时$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＜0；
∴y=f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）上不存在“类对称点”．
若x₀=$\frac{1}{2}$，则m′（x）=$\frac{4}{x}$（x-$\frac{1}{2}$）²＞0，
∴m（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x＞x₀时，m（x）＞m（x₀）=0，
当x＜x₀时，m（x）＜m（x₀）=0，故$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＞0．
即此时点P是y=f（x）的“类对称点”
综上，y=f（x）存在“类对称点”，$\frac{1}{2}$是一个“类对称点”的横坐标．
故选：B．

点评 本题考查导数的综合应用，涉及函数的单调增区间的求法，探索满足函数在一定零点下的参数的求法，探索函数是否存在“类对称点”．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，综合性较强，难度较大．