Question

7．已知函数f（x）=2e^x-（x-a）²+3，g（x）=f′（x）．
（Ⅰ）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？
（Ⅱ）当a＜-1时，证明：g（x）在[0，+∞）有唯一零点；
（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．
（Ⅱ）当a＜-1时，求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数单调性的性质即可证明：g（x）在[0，+∞）有唯一零点；
（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0的等价条件f（x）在[0，+∞）最小值大于或等于，求函数的导数，利用函数最值和导数之间的关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）g（x）=2（e^x-x+a），设曲线y=g（x）与x轴相切于点（x₀，0），则g（x₀）=0，g'（x₀）=0．即$\left\{\begin{array}{l}{e^{x_0}}-{x_0}+a=0\\{e^{x_0}}-1=0\end{array}\right.$，
解得x₀=0，a=-1，
因此当a=-1时，x轴是曲线y=g（x）的切线．  …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=-1时，曲线y=g（x）与x轴相切于点（0，0）．
当x≥0时，g'（x）=2（e^x-1）≥0，g（x）在[0，+∞）单调递增．当a＜-1时，g（0）=2（1+a）＜0．
所以曲线y=g（x）在y轴两侧与x轴各有一个交点．因此g（x）在[0，+∞）有唯一零点．…（6分）
（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，等价于f（x）在[0，+∞）最小值大于或等于0．
首先，f（0）≥0，即2-a²+3≥0，解得$-\sqrt{5}≤a≤\sqrt{5}$．
当$-1≤a≤\sqrt{5}$时，由（Ⅱ）知f'（x）≥f'（0）≥0．所以f（x）在[0，+∞）内单调递增，f（x）≥f（0）≥0；
当$-\sqrt{5}≤a＜-1$时，f'（x）在[0，+∞）有唯一零点，设零点是t，则e^t=t-a．
当x∈（0，t）时，f'（x）＜0；当x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0．
所以f（x）在（0，t）上单调递减，在（t，+∞）上单调递增．
所以f（x）在[0，+∞）最小值是f（t）=2e^t-（t-a）²+3=-（e^t+1）（e^t-3）．
由f（t）≥0，得0＜t≤ln3．
由于a=t-e^t，设h（x）=x-e^x，当x∈（0，+∞）时，h'（x）=1-e^x＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．
因为0＜t≤ln3，所以a=t-e^t∈[ln3-3，-1）．
综上，实数a的取值范围是$[ln3-3，\sqrt{5}]$．…（12分）

点评 本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用导数的几何意义研究切线问题以及，利用函数单调性，最值与导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．