Question

18．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（-1，0）的距离与P到定直线x=-4的距离之比为$\frac{1}{2}$．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A₁、B₁，且直线OA、OB的斜率之积等于$-\frac{3}{4}$，问四边形ABA₁B₁的面积S是否为定值？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），由点到直线的距离公式和两点的距离公式，可得，$\frac{{\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}}}{|x+4|}=\frac{1}{2}$，化简即可得到所求轨迹方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用两点的距离公式和斜率公式，结合点A、B在椭圆C上，可得x₁²+x₂²=4，
讨论①当x₁=x₂时，则四边形ABA₁B₁为矩形；②当x₁≠x₂时，通过三角形的面积公式和椭圆的对称性，即可得到所求面积为定值．

解答 解：（1）设P（x，y），由题意可得，$\frac{{\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}}}{|x+4|}=\frac{1}{2}$，
化简得3x²+4y²=12，
所以，动点P的轨迹C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$． 
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{3}{4}$，得$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，
$|AB|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}$，
因为点A、B在椭圆C上，
所以$y_1^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，$y_2^2=3（{1-\frac{x_2^2}{4}}）$，
所以，$9x_1^2x_2^2=16y_1^2y_2^2$=$9（4-x_1^2）（4-x_2^2）$，
化简得$x_1^2+x_2^2=4$． 
①当x₁=x₂时，则四边形ABA₁B₁为矩形，y₂=-y₁，则$\frac{y_1^2}{x_1^2}=\frac{3}{4}$，
由$y_1^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，得$\frac{3}{4}x_1^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，
解得$x_1^2=2$，$y_1^2=\frac{3}{2}$，S=|AB|•|A₁B|=4|x₁||y₁|=$4\sqrt{3}$；
②当x₁≠x₂时，直线AB的方向向量为$\vec d=（{x_2}-{x_1}\;，\;{y_2}-{y_1}）$，
直线AB的方程为（y₂-y₁）x-（x₂-x₁）y+x₂y₁-x₁y₂=0，
原点O到直线AB的距离为$d=\frac{{|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|}}{{\sqrt{{{（{x_2}-{x_1}）}^2}+{{（{y_2}-{y_1}）}^2}}}}$，
所以△AOB的面积${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}•|AB|•d=\frac{1}{2}|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|$，
根据椭圆的对称性，四边形ABA₁B₁的面积S=4S_△AOB=2|x₁y₂-x₂y₁|，
所以，${S^2}=4{（{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}）^2}=4（x_1^2y_2^2-2{x_1}{x_2}{y_1}{y_2}+x_2^2y_1^2）$
=$4[{3x_1^2（{1-\frac{x_2^2}{4}}）+\frac{3}{2}x_1^2x_2^2+3x_2^2（{1-\frac{x_1^2}{4}}）}]=12（x_1^2+x_2^2）=48$，
所以$S=4\sqrt{3}$．
所以，四边形ABA₁B₁的面积为定值$4\sqrt{3}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查直线的斜率公式和两点的距离公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．