Question

19．不等式组$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≤x\\ 2x+y-9≤0\end{array}\right.$所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是$（-∞，\frac{3}{4}]$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域图示：
因为y=a（x+1）过定点C（-1，0）．
当a≤0时，直线y=a（x+1）与区域D有公共点，满足条件．
当a＞0时，当直线y=a（x+1）过点A时，由公共点，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+y-9=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（3，3），
代入y=a（x+1）得4a=3，a=$\frac{3}{4}$，
又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．
此时0＜a≤$\frac{3}{4}$．
综上所述，a≤$\frac{3}{4}$．
故答案为：$（-∞，\frac{3}{4}]$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．