Question

14．已知函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求最小正实数m，使函数f（x）的图象向左平移m个单位长度所对应的函数是奇函数．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，求得a，b，然后利用三角形的二倍角公式及和角的正弦公式化简函数f（x），最后利用三角函数的周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y=sin（2x+2m+$\frac{π}{3}$）为奇函数，可得2m+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈z，由此求得m的最小值．

解答 解：（1）由 f （0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，得b=1，
∴f （x）=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）
故最小正周期T=π．
（2）∵使函数f（x）的图象向左平移m个单位长度所对应的函数解析式为：y=sin[2（x+m）+$\frac{π}{3}$]=sin（2x+2m+$\frac{π}{3}$），
∴根据y=sin（2x+2m+$\frac{π}{3}$）为奇函数，
可得2m+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈z，
故m的最小值为$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，体现了数形结合、转化的数学思想，解决三角函数的有关性质问题，一般先将三角函数化为只含一个角一个函数的形式，然后利用整体角处理的方法来解决，属于中档题．