Question

（本小题满分12分）

    已知定直线l:x=1和定点M(t,0)(t∈R),动点P到M的距离等于点P到直线l距离的2倍。

（1）求动点P的轨迹方程，并讨论它表示什么曲线；

（2）当t=4时，设点P的轨迹为曲线C，过点M作倾斜角为θ(θ>0)的直线交曲线C于A、B两点，直线l与x轴交于点N。若点N恰好落在以线段AB为直径的圆上，求θ的值。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）设P（x,y），则由题意得=2|x-1|,化简得3x²-y²+2(t-4)x+4-t²=0

，………………………4分；

当t=1时，化简得 y=±(x-1),表示两条直线；

 

 

当t≠1时，表示焦点在x轴上的双曲线。……………………6分；

 

（2）当t=4时，C：,M(4,0),N(1,0).由题意知 NA⊥NB，

所以，         ……………………8分；

设A(x₁,y₁),B(x_2,y₂),则当AB与x轴垂直时，易得，不合题意；

当AB与x轴不垂直时，设AB：y=k(x-4),代入双曲线方程并整理得：   

        (3-k²)x²+8k²x-16k²-12=0,

由得(x₁-1)(x₂-2)+y₁y₂=0

所以  (k²+1)x₁x₂-(4k²+1)(x₁+x₂)+16k²+1=0,化简整理得   k²=，所以k=±，……11分

    经检验，均符合题意。

所以  ……………………………12分

 

【解析】略