Question

数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n∈N^*，n≥2），a₁=2．
（1）设b_n=

1

2n

（a_n+1），求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）在等式两边同除以2ⁿ，利用等差数列的定义即可证得结论；
（2）由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．

解答： 解：（1）∵a_n=2a_n-1+2ⁿ+1，
∴a_n+1=2a_n-1+2ⁿ+2，
∵b_n=

1

2n

（a_n+1），
∴b_n-b_n-1=1
∴数列{b_n}是首项为

3

2

，公差为1的等差数列；
（2）b_n=

1

2n

（a_n+1）=n+

1

2

，∴a_n=（n+

1

2

）×2ⁿ-1=n×2ⁿ+2^n-1-1，
令T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n×2ⁿ，
∴2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-T_n=2¹+2²+2³+…+2•ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2+2ⁿ-1-n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+1-n．

点评：本题主要考查数列递推关系式的应用以及等差关系的确定，考查错位相减法求数列的和，确定数列的通项是关键，属于中档题．