Question

求函数f（x）=x²-

1

x2

+2x+1的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：先求定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），再求导函数f′（x）=2x+2x^-3+2，根据导函数判断合适的单调区间，即可得函数值域．

解答： 解：f（x）=x²-

1

x2

+2x+1，得x∈（-∞，0）∪（0，+∞）
f′（x）=x2+

2

x3

+2，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立
∴y=f（x）在x∈（0，+∞）上是单调递增函数，值域为（-∞，+∞）
当x∈（-∞，0）时，无论函数值取什么，都不改变函数值域为（-∞，+∞）
故函数的值域为（-∞，+∞）

点评：当遇到函数求值域时时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再根据函数的单调区间求值域；③根据定义域和解析式画出函数的图象；④根据图象分析函数的性质．