Question

19．如图，几何体EF-ABCD中，CDEF为边长为1的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，CD⊥BC，BC=1，AB=2，∠BCF=90°
（Ⅰ）求成：BD⊥AE
（Ⅱ）求二面角B-AE-D的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过已知条件可得CF⊥CD，利用线面垂直的判定定理及勾股定理即得结论；
（Ⅱ）以C为原点，CD、CB、CF所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求角的余弦值即为平面AED的法向量与平面EBA的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：由题意得，BC⊥DC，CF⊥BC，
∵四边形CDEF为正方形，∴CF⊥CD，
又CD∩BC=C，∴FC⊥平面ABCD，
∵DE∥CF，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥DB，
又∵四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，CD⊥BC，BC=1，AB=2，
∴AD=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{2}$，
∵AD²+BD²=AB²，∴BD⊥AD，
由AD∩DE=E，∴BD⊥平面ADE，∴BD⊥AE；
（注：也可以先建立直角坐标系，用向量法证明线线垂直）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知CD、CB、CF所在直线相互垂直，
故以C为原点，CD、CB、CF所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可得C（0，0，0），F（0，0，1），B（0，1，0），E（1，0，1），D（1，0，0），A（2，1，0），
由（Ⅰ）知平面AED的法向量为$\overrightarrow{BD}$=（1，-1，0），
∴$\overrightarrow{BE}$=（1，-1，1），$\overrightarrow{BA}$=（2，0，0），
设平面EBA的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-y+z=0}\\{2x=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
设二面角B-AE-D的大小为θ，
则cosθ=$|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BD}|}|$=$|\frac{1×（-1）}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}|$=$\frac{1}{2}$，
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴θ=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的计算，考查空间想象能力，计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．