Question

14．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，连结BM
（1）求证：AD⊥BM；
（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M-ADE的体积为$\frac{\sqrt{2}}{12}$；
（3）求二面角A-DM-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质即可证明AD⊥BM；
（2）建立空间坐标系结合三棱锥M-ADE的体积为$\frac{\sqrt{2}}{12}$，建立方程关系即可；
（3）求出平面的法向量，结合坐标系即可求二面角A-DM-C的正弦值．

解答 （1）证明：∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，∴AM=BM=$\sqrt{2}$，
∴AM²+BM²=AB²，∴AM⊥BM．
再由平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，∴BM⊥平面ADM，
结合AD?平面ADM，可得AD⊥BM．
（2）分别取AM，AB的中点O和N，则ON∥BM，
在（1）中证明BM⊥平面ADM，
∴ON⊥⊥平面ADM，ON⊥AM，ON⊥OD，
∵AD=DM，∴DO⊥AM，
建立空间直角坐标系如图：
则D（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），B（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，0），
∴$\overrightarrow{DB}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∵E是线段DB上的一个动点，
∴$\overrightarrow{DE}$=$λ\overrightarrow{DB}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ，$\sqrt{2}λ$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ），
则E（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ，$\sqrt{2}λ$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ），
∴$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}λ$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ），
显然$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）是平面ADM的一个法向量．
点E到平面ADM的距离d=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$=$\sqrt{2}λ$，
则${V}_{M-ADE}=\frac{1}{3}{S}_{ADM}•d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{2}λ=\frac{\sqrt{2}}{12}$，
解得λ=$\frac{1}{2}$，则E为BD的中点．
（3）D（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），M（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），C（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
则$\overrightarrow{DM}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{MC}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面CDM的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{m}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{m}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=1，z=-1，即$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），
易知$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）是平面ADM的法向量，
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
则sin＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\sqrt{1-\frac{3}{9}}=\sqrt{\frac{6}{9}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查空间直线的垂直的判断，空间三棱锥的体积的计算，以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．