Question

5．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（x＞0）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）把a=2代入函数解析式，求导后得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调期间；
（2）对原函数求导，然后分a≤0，0＜a≤1，1＜a＜e，a≥e四种情况讨论原函数在[1，e]上的单调性，并求得最小值，由最小值等于2求得a的值．

解答 解：（1）当a=2时，$f（x）=lnx+\frac{2}{x}$，${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}=\frac{x-2}{{x}^{2}}$．
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0．
∴f（x）的减区间为（0，2）；增区间为（2，+∞）；
（2）由f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（x＞0），得${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}=\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
若a≤0，则f′（x）≥0，函数f（x）在[1，e]上为增函数，
f（x）_min=f（1）=a，则a=2，不合题意；
若a＞0，则当0＜a≤1时，在[1，e]上，f′（x）≥0，函数f（x）在[1，e]上为增函数，
f（x）_min=f（1）=a，则a=2，不合题意；
当1＜a＜e时，在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，在（a，e）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）_min=f（a）=lna+1，由lna+1=2，解得：a=e，不合题意；
当a≥e时，在[1，e]上，f′（x）≤0，f（x）在[1，e]上为减函数，
$f（x）_{min}=f（e）=1+\frac{a}{e}$，由$1+\frac{a}{e}=2$，解得a=e．
综上，a=e．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，着重考查分类讨论的数学思想方法，是中高档题．