Question

13．已知点A（0，1）、B（0，-1）、C（2，0）、D（2，1），直线l：y=2，点R是圆O：x²+y²=1上的动点，直线RA、RB分别交直线l于点E、F．
（1）若点E的坐标是（2，2），求△ROA的面积；
（2）当点R变化时，以EF为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由；
（3）对于线段AC上的任意一点P，若在以D为圆心的圆上总存在不同的两点M、N，使得点M是线段PN的中点，求圆D的半径r的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件求得RA的斜率，再用点斜式求得直线RA的方程，再利用点到直线的距离公式、弦长公式求得圆心O到直线RA的距离为d、弦长RA的值，可得△ROA的面积为$\frac{1}{2}$•RA•d的值．
（2）由条件求得EF的中点（$\frac{1-{2y}_{0}}{{x}_{0}}$，2），以EF为直径的圆截y轴得到的弦长为2$\sqrt{3}$，为定值，可得以EF为直径的圆必定经过定点（0，2+$\sqrt{3}$）、（0，2-$\sqrt{3}$）．
（3）由题意可得以点D（2，1）为圆心、以r为半径的圆和以点（-m+4，-n+2）为圆心、以2r为半径的圆有交点，即两圆的圆心距大于或等于半径之差而小于或等于半径之和，化简可得，r²≤5n²-2n+1≤9r² 对于任意的n∈[0，1]都成立．根据函数f（n）=5n²-2n+1在∈[0，1]上的值域，可得，r²≤$\frac{4}{5}$，4≤9r²．再由线段AC和圆D无公共点，求得r²＜$\frac{4}{5}$，从而求得r的范围．

解答 解：（1）若点E的坐标是（2，2），直线RA的斜率即直线AE的斜率$\frac{2-1}{2-0}$=$\frac{1}{2}$，
直线RA的方程，即AE得方程，为 y=$\frac{1}{2}$x+1，即x-2y+2=0，求得圆心O到直线RA的距离为d=$\frac{|0-0+2|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
故弦长RA=2$\sqrt{1{-（\frac{2}{\sqrt{5}}）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴△ROA的面积为$\frac{1}{2}$•RA•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$．
（2）设点R（x₀，y₀），则 ${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=1，RA的方程为y=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+1，再把y=2代入可得x_E=$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$．
同理求得 x_F=$\frac{{3x}_{0}}{{y}_{0}+1}$，∴E（$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，2），F（$\frac{{3x}_{0}}{{y}_{0}+1}$，2），
∴EF=|$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$-$\frac{{3x}_{0}}{{y}_{0}+1}$|=|$\frac{2{（y}_{0}-2）}{{x}_{0}}$|，故EF的中点（$\frac{1-{2y}_{0}}{{x}_{0}}$，2），
故以EF为直径的圆截y轴得到的弦长为2$\sqrt{{（\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}}）}^{2}{-（\frac{1-{2y}_{0}}{{x}_{0}}）}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{3-{{3y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}}$=2$\sqrt{3}$，为定值．
∴以EF为直径的圆必定经过定点（0，2+$\sqrt{3}$）、（0，2-$\sqrt{3}$）．
（3）直线AC的方程为x+2y-2=0，设P（m，n）、N（x，y），则 M（$\frac{m+x}{2}$ $\frac{n+y}{2}$），
∵M、N在圆D上，∴$\left\{\begin{array}{l}{{（x-2）}^{2}{+（y-1）}^{2}{=r}^{2}}\\{{（\frac{m+x}{2}-2）}^{2}{+（\frac{n+y}{2}-1）}^{2}{=r}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{（x-2）}^{2}{+（y-1）}^{2}{=r}^{2}}\\{{（x+m-4）}^{2}{+（y+n-2）}^{2}={4r}^{2}}\end{array}\right.$，
根据关于x、y的方程组有解，
可得以点D（2，1）为圆心、以r为半径的圆和以点（-m+4，-n+2）为圆心、以2r为半径的圆有交点，
∴（2r-r）²≤（-m+4-2）²+（-n+2-1）²≤（2r+r）²．
由于点P在线段AC上，故有m+2n-2=0，∴r²≤5n²-2n+1≤9r² 对于任意的n∈[0，1]都成立．
而函数f（n）=5n²-2n+1在∈[0，1]上的值域为[$\frac{4}{5}$，4]，∴r²≤$\frac{4}{5}$，4≤9r²．
又线段AC和圆D无公共点，∴（2-2n-2）²+（n-1）²＞r²，求得r²＜$\frac{4}{5}$，
故r的范围是[$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）．

点评 本题主要考查直线和圆的方程的应用，直线和圆、圆和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于难题．