Question

18．已知两点F₁（-1，0）及F₂（1，0），点P在以F₁，F₂为焦点的椭圆C上，且|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F₁M⊥l，F₂N⊥l，求四边形F₁MNF₂面积S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的定义可得a=2，又c=1，再由a，b，c的关系，解得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，运用判别式为0，讨论k≠0，k=0，运用直角梯形面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆定义可得2a=|PF₁|+|PF₂|=4．即a=2，
又c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（Ⅱ）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x²+4y²=12中，
得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．                
由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，
化简得：m²=4k²+3．                          
设d₁=|F₁M|=$\frac{|m-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，d₂=|F₂N|=$\frac{|m+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，
则|d₁-d₂|=|MN|•|tanθ|
∴|MN|=|$\frac{{d}_{1}-{d}_{2}}{k}$|，S=$\frac{1}{2}$|$\frac{{d}_{1}-{d}_{2}}{k}$|（d₁+d₂）=|$\frac{{{d}_{1}}^{2}-{{d}_{2}}^{2}}{2k}$|=$\frac{2|m|}{1+{k}^{2}}$=$\frac{2|m|}{\frac{{m}^{2}-3}{4}+1}$=$\frac{8}{|m|+\frac{1}{|m|}}$，
∵m²=4k²+3，∴当k≠0时，|m|＞$\sqrt{3}$，|m|+$\frac{1}{|m|}$＞$\sqrt{3}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$，S＜2$\sqrt{3}$．
当k=0时，四边形F₁MNF₂是矩形，S=2$\sqrt{3}$．   
所以四边形F₁MNF₂面积S的最大值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查化归与转化思想．