Question

9．给定椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），称圆x²+y²=a²+b²为椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的短轴长为2，离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当|CD|=$\sqrt{13}$时，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得，根据离心率公式以及b=1，知a²=3，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）分类讨论，当CD⊥x轴时，当CD与x轴不垂直时，设直线CD的方程为y=kx+m，则韦达定理以及弦长公式和基本不等式求出弦长的最大值，由此能求出△AOB的面积取最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
又∵b=1，∴a²=3，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，
（Ⅱ）“伴随圆”的方程为x²+y²=4，
①当CD⊥x轴时，由|CD|=$\sqrt{13}$，得|AB|=$\sqrt{3}$．
②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=$\sqrt{13}$，得圆心O到CD的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
设直线CD的方程为y=kx+m，则由$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得m²=$\frac{3}{4}$（k²+1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0．
∴x₁+x₂=$\frac{-6km}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$．
当k≠0时，|AB|²=（1+k²）（x₁-x₂）²，
=（1+k²）[$（\frac{-6km}{3{k}^{2}+1}）^{2}$-$\frac{12（{m}^{2}-1）}{3{k}^{2}+1}$]，
=$\frac{3（1+{k}^{2}）（9{k}^{2}+1）}{（3{k}^{2}+1）^{2}}$，
=3+$\frac{12{k}^{2}}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}$，
=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}$，
≤3+$\frac{12}{2×3+6}$=4，
当且仅当9k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$时等号成立，此时|AB|=2．
当k=0时，|AB|=$\sqrt{3}$，综上所述：|AB|_max=2，
此时△AOB的面积取最大值S=|AB|_max×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆和“伴随圆”的方程，考查三角形面积最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化