Question

6．如图所示，AB为⊙O的直径，O为圆心，PB与⊙O相切于点B，PO交⊙O于点D，AD的延长线交PB于点C，若AB=2，PB=2$\sqrt{2}$，则BC=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接BD，证明△PCD∽△PDB，求出PC，即可求出BC．

解答 解：如图所示，连接BD，则
∵AB为⊙O的直径，
∴OA=OB=OD=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PB，∠A=∠PBD，
∴OP=$\sqrt{P{B}^{2}+O{B}^{2}}$=3，
∴PD=OP-OD=2，
∵OA=OD，
∴∠A=∠2=∠1，
∴∠1=∠PBD，
∵∠P=∠P，
∴△PCD∽△PDB，
∴$\frac{PD}{PB}=\frac{PC}{PD}$，
∴PC=$\frac{P{D}^{2}}{PB}$=$\sqrt{2}$，
∴BC=PB-PC=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形相似的证明，比较基础．