Question

18．过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左焦点作倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是直线和双曲线有两个交点，且为左右两支各一个．

Answer 1

分析 求出直线方程，联立双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用判别式和韦达定理，即可得到．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=2，b=3，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
左焦点为（-$\sqrt{13}$，0），
过左焦点作倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+$\sqrt{13}$），
代入双曲线方程，可得23x²-8$\sqrt{13}$x-160=0，
则判别式△=64×13+4×23×160＞0，
x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{13}}{23}$，x₁x₂=-$\frac{160}{23}$，
则直线和双曲线有两个交点，且为左右两支各一个，
故答案为：直线和双曲线有两个交点，且为左右两支各一个．

点评 本题考查直线和双曲线的位置关系，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用韦达定理和判别式，考查运算能力，属于基础题．