Question

16．偶函数f（x）满足f（x）=f（2-x），且当x∈[-1，0]时，f（x）=cos$\frac{πx}{2}$-1，若函数g（x）=f（x）-log_ax有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{1}{5}，\frac{1}{3}}）$
• B． $（{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}）$
• C． （2，4）
• D． （3，5）

Answer 1

分析 由题意可得，函数f（x）的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，函数f（x）是周期为2，函数y=f（x）的图象
和函数y=log_ax有的图象有且仅有3个交点，数形结合可得$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{log}_{a}3＞-1}\\{{log}_{a}5＜-1}\end{array}\right.$，由此求得a的范围．

解答 解：∵偶函数f（x）满足f（x）=f（2-x），
故函数的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，
故函数f（x）是周期为2．
由当x∈[-1，0]时，f（x）=cos$\frac{πx}{2}$-1，
可得函数f（x）的图象，
如图所示：
由题意可得，函数y=f（x）的图象
和函数y=log_ax有的图象有且仅有3个交点，
故有$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{log}_{a}3＞-1}\\{{log}_{a}5＜-1}\end{array}\right.$，求得$\frac{1}{5}$＜a＜$\frac{1}{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．