Question

5．定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）满足xf′（x）-f（x）=x，且f（1）=1．现给出关于函数f（x）的下列结论，正确的个数为（　　）
①函数f（x）在$（{\frac{1}{e}，+∞}）$上单调递增
②函数f（x）的最小值为$-\frac{1}{e^2}$
③函数f（x）有且只有一个零点
④对于任意x＞0，都有f（x）≤x²．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由条件可得f（x）=x（lnx+1），利用导数求得f（x）的单调区间，可得①②正确；根据零点的定义可得③正确；设h（x）=f（x）-x²，利用导数研究单调性，由单调性求得h（x）的极大值为0，可得④正确，从而得出结论．

解答 解：由题意可得$\frac{x•f′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{x}$，根据积分可得：$\frac{f（x）}{x}$=lnx+C，即f（x）=xlnx+Cx．
代入f（1）=C=1，可得：f（x）=xlnx+x=x（lnx+1）．
故f′（x）=lnx+2，求得极值点为x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故函数在（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
在（$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故①正确．
由以上可得，函数f（x）的最小值为f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，故②正确．
由f（x）=0，求得：x=$\frac{1}{e}$，是唯一零点，故③正确．
记h（x）=f（x）-x²=x（lnx+1-x），令g（x）=lnx+1-x，
则g′（x）=$\frac{1}{x}$-1=0得：x=1，再根据g'（x）的符号可得函数g（x）在（0，1）上是增函数，
在（1，+∞）上是减函数，故x=1为g（x）的极大值点，而g（1）=0，
即g（x）≤0，从而有h（x）=g（x）-x²≤0，故④正确，
故选：D．

点评 本题主要考查导数的运算，导数与函数的单调性的关系，求函数的极值，属于中档题．