Question

20．如图，已知⊙O的直径为AB，点C为⊙O上异于A，B的一点，BC⊥VA，AC⊥VB．
（Ⅰ）求证：VC⊥平面ABC；
（Ⅱ）已知AC=1，VC=2，AB=3，点M为线段VB的中点，求两面角B-MA-C的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过直径所对的圆周角为直径及线面垂直的判定定理可得结论；
（Ⅱ）以C为原点，以CA、CB、CV所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系C-xyz，则所求角的余弦值为平面BMA的法向量与平面CMA的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，
又∵BC⊥VA，AC∩VA=A，
∴BC⊥平面VAC，∴BC⊥VC，
又∵AC⊥VB且AC⊥BC，VB∩BC=B，
∴AC⊥平面VBC，∴AC⊥VC，
又∵BC∩AC=C，∴VC⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：∵BC⊥VC，VC⊥平面ABC，
∴VC⊥BC，VC⊥AC，
又AC⊥BC，∴以C为原点，以CA、CB、CV所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系C-xyz如图，
则A（1，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），V（0，0，2），∴M（0，$\sqrt{2}$，1），
∴$\overrightarrow{AM}$=（-1，$\sqrt{2}$，1），$\overrightarrow{AB}$=（-1，2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{CA}$=（1，0，0），
设平面BMA的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{2}y+z=0}\\{-x+2\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{2}$，1，$\sqrt{2}$），
设平面CMA的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{2}y+z=0}\\{-x=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}$=（0，1，-$\sqrt{2}$），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{33}}$=-$\frac{\sqrt{33}}{33}$，
∴两面角B-MA-C的正弦值为$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{33}}{33}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{66}}{33}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的计算，考查空间想象能力，计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．