Question

15．如图，在三棱锥S-ABC中，底面ABC是正三角形，AB=4，SA=SC=2$\sqrt{3}$，侧面SAC⊥底面ABC，D，E分别为AB，SB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥SB；
（Ⅱ）求直线SC与平面ECD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角E-CD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立坐标系利用向量法即可证明AC⊥SB；
（Ⅱ）求出平面的法向量，利用坐标法即可求直线SC与平面ECD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角E-CD-B的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：取AC的中点，连接OB，OS．
∵SA=SC，AB=CB，
∴AC⊥SO，AC⊥BO．
又∵平面SAC⊥平面ABC，
且AC是平面 与平面 的交线，
∴SO⊥平面ABC．
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz．…（1 分）
由已知得A（2，0，0），B（0，2$\sqrt{3}$，0），C（-2，0，0），S（0，0，$2\sqrt{2}$），D（1，$\sqrt{3}$，0），E（0，$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）．
∴$\overrightarrow{AC}$=（-4，0，0），$\overrightarrow{SB}$=（0，2$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{2}$）．
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{SB}$=（-4，0，0）•（0，2$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{2}$）=0，
∴AC⊥SB．…（5 分）
（Ⅱ）解：$\overrightarrow{CE}$=（2，$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DE}$=（-1，0，$\sqrt{2}$）．$\overrightarrow{SC}$=（-2，0，-2$\sqrt{2}$）．
设平面ECD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CE}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DE}$=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+\sqrt{3}y+\sqrt{2}z=0}\\{-x+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则x=$\sqrt{2}$，y=$-\sqrt{6}$．
故$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，$-\sqrt{6}$，1）为平面ECD的一个法向量．…（8 分）
则cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{SC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{SC}|}$=$\frac{-4\sqrt{2}}{3×2\sqrt{3}}$=-$\frac{2\sqrt{6}}{9}$
∴直线SC与平面ECD所成角的正弦值为-$\frac{2\sqrt{6}}{9}$．…（10分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，$-\sqrt{6}$，1）为平面ECD的一个法向量，
而$\overrightarrow{OS}$=（0，0，2$\sqrt{2}$），为平面BCD的一个法向量．
设二面角E-CD-B的大小为θ，易知二面角E-CD-B是锐角，
∴cosθ=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OS}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{OS}|}$|=$\frac{2\sqrt{2}}{3×2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$
∴二面角 的余弦值等于$\frac{1}{3}$．…（13分）

点评 本题主要考查空间直线和平面所称的角，以及二面角的求解，考查学生的运算和推理能力．建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．