Question

6．设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有13条．

Answer 1

分析 由正方体自身的对称性可知，若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，由此分三种情况，即P，Q为正方体一体对角线两顶点时，P，Q为正方两相对棱中点时，P，Q为正方体对面中心时求得符合条件的直线PQ的条数．

解答 解：若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，否则，正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后，中心不能回到原来的位置．
共有三种情况：如图，

当P，Q为正方体一体对角线两顶点时，把正方体绕PQ旋转$\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}$，正方体回到原来的位置，此时直线共有4条；
当P，Q为正方两相对棱中点时，把正方体绕PQ旋转π，正方体回到原来的位置，此时直线共有6条；
当P，Q为正方体对面中心时，把正方体绕PQ旋转$\frac{π}{2}，π，\frac{3π}{2}$，正方体回到原来的位置，此时直线共有3条．
综上，符合条件的直线PQ有4+6+3=13条．
故答案为：13．

点评 本题考查了棱柱的结构特征，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．