Question

14．已知P是等边△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=$\frac{2}{3}$，△ABC的边长为1，求PC和平面ABC所成的角的大小．

Answer 1

分析 画出图形，过P作底面ABC 的垂线，垂足为O，连接CO并延长交AB于E，说明∠PCO为所求，然后再通过求三角形PCO的边长即可求出答案．

解答 解：过P作底面ABC 的垂线，垂足为O，连接CO并延长交AB于E，
因为P为边长为1的正三角形ABC所在平面外一点且PA=PB=PC=$\frac{2}{3}$，
所以O是三角形ABC 的中心
且∠PCO就是PC与平面ABC所成的角，
∵CO=$\frac{2}{3}$CE=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
且PC=$\frac{2}{3}$，
∴cos∠PCO=$\frac{CO}{PC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴∠PCO=30°．
即PC与平面ABC所成的角为30°．

点评 本题考查三垂线定理，点、线、面间的距离，考查学生计算能力，逻辑思维能力，是中档题．