Question

6．计算：$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cosα}}$，（270°＜α＜360°）

Answer 1

分析 利用三角函数的升幂公式易知 $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cosα=$\frac{1}{2}$×2cos²$\frac{α}{2}$=cos²$\frac{α}{2}$，结合270°＜α＜360°，可得cosα＞0，cos $\frac{α}{2}$＜0，再利用升幂公式即可求得答案．

解答 解：∵$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cosα=$\frac{1}{2}$×2cos²$\frac{α}{2}$=cos²$\frac{α}{2}$，270°＜α＜360°，
∴cosα＞0，cos$\frac{α}{2}$＜0，
∴$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cosα}$=-cos$\frac{α}{2}$；
∴$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$×2sin²$\frac{α}{4}$=sin²$\frac{α}{4}$，sin$\frac{α}{4}$＞0，
$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cosα}}$=sin$\frac{α}{4}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，着重考查降幂公式的应用，属于中档题．