Question

11．已知直线l过点M（1，2），且分别交x轴的正半轴、y轴的正半轴于点A，B，其中O为坐标原点，当△AOB的面积为多少时，直线l有两条？

Answer 1

分析 设直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$（a，b＞0）．把点M（1，2）代入可得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，即b+2a=ab，$S=\frac{1}{2}ab$，可得a²-Sa+S=0，可得△＞0，a₁+a₂=S＞0，a₁a₂=S＞0．解出即可．

解答 解：设直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$（a，b＞0）．
把点M（1，2）代入可得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，即b+2a=ab，
∵$S=\frac{1}{2}ab$，
化为a²-Sa+S=0，（*）
可得△=S²-4S＞0，a₁+a₂=S＞0，a₁a₂=S＞0．
解得0＜S＜4．
因此当且仅当0＜S＜4时，方程（*）有两解，因此直线l有两条．

点评 本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式、一元二次方程的解与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．