Question

2．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为$\frac{1}{3}$，乙获胜的概率为$\frac{2}{3}$，各局比赛结果相互独立．
（1）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）若每局比赛胜利方得1分，对方得0分，求甲最终总得分X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 解用A表示“乙在4局以内（含4局）赢得比赛”，A_k表示“第k局乙获胜”，B_k表示“第k局甲获胜”，
（Ⅰ）P（A）=P（A₁A₂）+P（B₁A₁A₂）+P（A₁B₂A₃A₄）利用独立重复试验的概率乘积求解即可．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3 求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：用A表示“乙在4局以内（含4局）赢得比赛”，A_k表示“第k局乙获胜”，B_k表示“第k局甲获胜”，则 （Ⅰ）P（A）=P（A₁A₂）+P（B₁A₁A₂）+P（A₁B₂A₃A₄）
=P（A₁A₂）+P（B₁）P（A₁）P（A₂）+P（A₁）P（B₂）P（A₃）P（A₄）
=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{56}{81}$        …（4分）
（Ⅱ）甲最终总得分X的可能取值为0，1，2，3      …（5分）
$P（X=0）=P（{A_1}{A_2}）=\frac{2}{3}•\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$…（6分）
$P（X=1）=P（{B_1}{A_2}{A_3}）+P（{A_1}{B_2}{A_3}{A_4}）=\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•\frac{2}{3}+\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•\frac{2}{3}=\frac{20}{81}$…（7分）$\begin{array}{l}P（X=2）=P（{B_1}{B_2}）+P（{A_1}{B_2}{B_2}）+P（{A_1}{B_2}{A_3}{B_4}{A_5}）+P（{B_1}{A_2}{B_3}{A_4}{A_5}）\\=\frac{1}{3}•\frac{1}{3}+\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•\frac{1}{3}+\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}+\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•\frac{2}{3}=\frac{61}{243}\end{array}$$P（X=3）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=2）=\frac{14}{243}$…（9分）
故$t=\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}（t＞1）$的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{9}$	$\frac{20}{81}$	$\frac{61}{243}$	$\frac{14}{243}$

∴$EX=0×\frac{4}{9}+1×\frac{20}{81}+2×\frac{61}{243}+3×\frac{14}{243}=\frac{224}{243}$…（12分）

点评 本题考查独立重复试验的概率的求法，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．