Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为单位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，向量$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{6}$，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的最大值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 4
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为单位向量，可得$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{π}{3}$．设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$．由向量$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{6}$，可得∠ACB=$\frac{π}{6}$．由等边三角形OAB，点C在AB外且∠ACB为定值，可得C的轨迹是两段圆弧，∠ACB是AB所对的圆周角．因此：当AC时是弧$\widehat{AB}$所在圆（上述圆弧）的直径时，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|取得最大值$|\overrightarrow{AC}|$．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为单位向量，
∴$1×1×cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{1}{2}$，
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{π}{3}$．
设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$．
∵向量$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{6}$，
∴∠ACB=$\frac{π}{6}$．
由等边三角形OAB，点C在AB外且∠ACB为定值，可得C的轨迹是两段圆弧，∠ACB是AB所对的圆周角．
可知：当AC时是弧$\widehat{AB}$所在圆（上述圆弧）的直径时，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|取得最大值$|\overrightarrow{AC}|$，
在△ABC中，由正弦定理可得：$AC=\frac{AB}{sin3{0}^{°}}$=2．
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|取得最大值是2．
故选：D．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、向量的减法运算及其几何意义、圆的性质、直角三角形的边角关系，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．