Question

3．如图，已知四棱锥的侧棱PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，点M在侧棱上．
（1）求证：BC⊥平面BDP；
（2）若侧棱PC与底面ABCD所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，点M为侧棱PC的中点，求异面直线BM与PA所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明BD⊥BC，PD⊥BC，即可证明BC⊥平面BDP；
（2）取PD中点为N，并连结AN，MN，则∠PAN即异面直线BM与PA所成角，在△PAN中，利用余弦定理，即可求出异面直线BM与PA所成角的余弦值．

解答 （1）证明：由已知可算得$BD=BC=2\sqrt{2}$，∴BD²+BC²=16=DC²，
故BD⊥BC，
又PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，故PD⊥BC，
又BD∩PD=D，所以BC⊥平面BDP；…6分
（2）解：如图，取PD中点为N，并连结AN，MN，BM∥AN，
则∠PAN即异面直线BM与PA所成角；
又PA⊥底面ABCD，∴∠PCD即为PC与底面ABCD所成角，
即$tan∠PCD=\frac{1}{2}$，∴$PD=\frac{1}{2}CD=2$，即$PN=\frac{1}{2}PD=1$，
又$AN=\sqrt{5}$，$PA=2\sqrt{2}$，则在△PAN中，$cos∠PAN=\frac{{A{P^2}+A{N^2}-P{N^2}}}{2AP•AN}=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，
即异面直线BM与PA所成角的余弦值为$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$．…12分．

点评 本题考查线面垂直，考查异面直线BM与PA所成角的余弦值，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．