Question

8．设函数f（x）=2x-$\frac{lnx+2x-a}{x+1}$．
（1）若f（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设F（x）=f（x）e^x，若a=-1，求证：F（x）＞ln2-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）把f（x）≥3恒成立，转化为a≥lnx-2x²+3x+3恒成立，构造函数g（x）=lnx-2x²+3x+3，由导数求得其最大值得实数a的取值范围；
（2）把a=-1代入F（x）=f（x）e^x，整理后构造函数g（x）=2x²-lnx-1，利用导数求得其最小值为2-$\frac{1}{2}$．再令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x+1}$，由函数的单调性求得h（x）＞1，则结论得证．

解答 （1）解：f（x）≥3恒成立，即2x-$\frac{lnx+2x-a}{x+1}$-3≥0（x＞0）恒成立，
也就是a≥lnx-2x²+3x+3恒成立，
令g（x）=lnx-2x²+3x+3，
${g}^{′}（x）=\frac{1}{x}-4x+3=\frac{-4{x}^{2}+3x+1}{x}$（x＞0），
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
∴当x=1时，g（x）有极大值，也就是最大值为g（1）=4．
∴a≥4；
（2）证明：当a=-1时，F（x）=f（x）e^x=（2x-$\frac{lnx+2x+1}{x+1}$）e^x=$\frac{2{x}^{2}-lnx-1}{x+1}{e}^{x}$，
令g（x）=2x²-lnx-1，${g}^{′}（x）=4x-\frac{1}{x}=\frac{4{x}^{2}-1}{x}$，
当x∈$（0，\frac{1}{2}）$时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈$（\frac{1}{2}，+∞）$时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，g（x）由最小值，等于g（$\frac{1}{2}$）=ln2-$\frac{1}{2}$．
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x+1}$，该函数在（0，+∞）上为增函数，
∴h（x）＞h（0）=1，
∴g（x）h（x）=$\frac{2{x}^{2}-lnx-1}{x+1}{e}^{x}$＞ln2-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、通过构造函数研究函数的单调性解决问题的方法，考查了转化能力、推理能力与计算能力，属于难题．