Question

4．如图，平面ABCD⊥平面PAB，且四边形ABCD为正方形，△PAB为正三角形，M为PD的中点，E为线段BC上的动点．
（1）若E为BC的中点，求证：AM⊥平面PDE；
（2）若三棱锥A-PEM的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求正方形ABCD的边长．

Answer 1

分析 （1）取AP的中点O，连接MO，BO．又DM=MP，利用正方形的性质与三角形中位线定理可得：四边形MOBE为平行四边形，EM∥OB．由△PAB为正三角形，可得BO⊥AP，利用面面线面垂直的性质与判定定理可得：AD⊥平面ABP，得到AD⊥OB，因此OB⊥平面PAD，OB⊥AM，．由AP=AD，M为PD的中点，可得AM⊥PD．即可证明：AM⊥平面PDE；
（2）BC∥AD，可得：BC∥平面PAD．由（I）可知：OB⊥平面PAD，故OB为三棱锥E-APM的高，设正方形ABCD的边长为a，利用V_E-APM=$\frac{1}{3}{S}_{△APM}$•OB=$\frac{\sqrt{3}}{24}{a}^{2}$．又V_E-APM=V_A-EPM，即可解出．

解答 （1）证明：取AP的中点O，连接MO，BO．又DM=MP，
∴$MO\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AD$，又$BE\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AD$，
∴$MO\underset{∥}{=}EB$，
∴四边形MOBE为平行四边形，
∴EM∥OB．
∵△PAB为正三角形，∴BO⊥AP，
由四边形ABCD为正方形，∴AD⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面ABP，平面ABCD∩平面ABP=AB，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面ABP，OB?平面PAB，∴AD⊥OB，
又PA∩AD=A，∴OB⊥平面PAD．
又AM?平面PAD，∴OB⊥AM，即EM⊥AM．
又AP=AD，M为PD的中点，∴AM⊥PD．
又EM∩PD=M，∴AM⊥平面PDE；
（2）解：BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD．
∴BC∥平面PAD．由（I）可知：OB⊥平面PAD，故OB为三棱锥E-APM的高，
设正方形ABCD的边长为a，则V_E-APM=$\frac{1}{3}{S}_{△APM}$•OB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}a×\frac{a}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{24}{a}^{2}$．
又V_E-APM=V_A-EPM，∴$\frac{\sqrt{3}}{24}{a}^{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得a=3．
即正方形的边长a=2．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、正方形与正三角形的性质、平行四边形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．