Question

12．函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点，P为图象与y轴的交点．若在曲线段$\widehat{ABC}$与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 先利用定积分的几何意义，求曲线段$\widehat{ABC}$与x轴所围成的区域面积，再求三角形ABC的面积，最后利用几何概型概率计算公式求面积之比即可得所求概率

解答 解：∵f′（x）=ω cos（ωx+φ），
∴曲线段$\widehat{ABC}$与x轴所围成的区域面积为${∫}_{\frac{π-2φ}{2ω}}^{\frac{3π-φ}{2ω}}$[-f′（x）]dx=-sin$\frac{3π}{2}$-（-sin$\frac{π}{2}$）=2
三角形ABC的面积为$\frac{ω×\frac{π}{ω}}{2}$=$\frac{π}{2}$
∴在曲线段$\widehat{ABC}$与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为P=$\frac{\frac{π}{2}}{2}$=$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查了f（x）=Asin （ωx+φ）型函数的图象和性质，导数运算及导函数与原函数的关系，定积分的几何意义，几何概型概率的计算方法，属中档题．