Question

3．在公比为2的等比数列{a_n}中，a₂+1是a₁与a₃的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{a_n}前n项的和为S_n，若数列{b_n}满足b_n=a_nlog₂（S_n+2），试求数列{b_n}前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （I）由a₂+1是a₁与a₂的等差中项，可得2（a₂+1）=a₁+a₃，解得a₁=2．利用等比数列的通项公式即可得出a_n．
（II）由S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$，可得b_n=（n+1）•2ⁿ，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵a₂+1是a₁与a₂的等差中项，
∴2（a₂+1）=a₁+a₃，
∴2（2a₁+1）=a₁+4a₁，解得a₁=2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2，
∴b_n=a_nlog₂（S_n+2）=（n+1）•2ⁿ，
∴T_n=2×2+3×2²+…+（n+1）×2ⁿ，
2T_n=2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）×2ⁿ⁺¹=2+$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（n+1）×2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．